Compressive sensing adaptation for polynomial chaos expansions

Basis adaptation in Homogeneous Chaos spaces rely on a suitable rotation of the underlying Gaussian germ. Several rotations have been proposed in the literature resulting in adaptations with different convergence properties. In this paper we present a new adaptation mechanism that builds on compressive sensing algorithms, resulting in a reduced polynomial chaos approximation with optimal sparsity. The developed adaptation algorithm consists of a two-step optimization procedure that computes the optimal coefficients and the input projection matrix of a low dimensional chaos expansion with respect to an optimally rotated basis. We demonstrate the attractive features of our algorithm through several numerical examples including the application on Large-Eddy Simulation (LES) calculations of turbulent combustion in a HIFiRE scramjet engine.Comment: Submitted to Journal of Computational Physic

Nonlocal Soliton Dynamics

50 σ.Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο--Μεταπτυχιακή εργασία. Διεπιστημονικό-Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών (Δ.Π.Μ.Σ.) “Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες”Το φαινόμενο των Συμπυκνωμάτων Bose - Einstein αναφέρεται σε ένα σύστημα σωματιδίων του οποίου η συμπεριφορά περιγράφεται από τη Στατιστική Bose. Πιο συγκεκριμένα, κάτω από μια κρίσιμη θερμοκρασία Tc, ενας μακροσκοπικός αριθμός σωματιδίων (σε αναλογία με τον συνολικό τους αριθμό) καταλαμβάνει την ίδια κβαντική κατάσταση. Αυτή η ιδιοτητα αποτελεί αιτία για άλλα σημαντικά φυσικά φαινομενα όπως η υπερρευστότητα του υγρου Ηλίου και η υπεραγωγιμότητα στα μέταλλα. Για την κατανόηση της πολύπλοκης δυναμικής τους, το σχετικό μοντέλο περιγραφής που χρησιμοποιείται, η εξίσωση Gross-Pitaevskii, θεωρούμενη και σαν μια παραλλαγή της γνωστής μη γραμμικης εξίσωσης Schrodinger, Η οποια είναι ένα μοντέλο που περιγράφει την διάδοση της μιγαδικής περιβάλλουσας ενός κύματος σε μη γραμμικά μέσα που εμφανίζουν διασπορά. Η διασπορά τώρα οδηγεί στην εμφανιση κυματοπακετων τα οποια διαδίδονται χωρις απώλειες και μπορουν να αντιμετωπιστούν σαν σολιτονια παρόλο που το σχετικό μοντέλο συχνά δεν παρουσιάζει ολοκληρωσιμότητα και οι μεταξύ τους αντιδράσεις είναι συχνά ανελαστικές.Παναγιώτης Α. Τσιλίφη

MATHICSE Technical Report : A Multilevel Stochastic Gradient method for PDE-constrained Optimal Control Problems with uncertain parameters

In this paper, we present a multilevel Monte Carlo (MLMC) version of the Stochastic Gradient (SG) method for optimization under uncertainty, in order to tackle Optimal Control Problems (OCP) where the constraints are described in the form of PDEs with random parameters. The deterministic control acts as a distributed forcing term in the random PDE and the objective function is an expected quadratic loss. We use a Stochastic Gradient approach to compute the optimal control, where the steepest descent direction of the expected loss, at each iteration, is replaced by independent MLMC estimators with increasing accuracy and computational cost. The refinement strategy is chosen a-priori such that the bias and, possibly, the variance of the MLMC estimator decays as a function of the iteration counter. Detailed convergence and complexity analyses of the proposed strategy are presented and asymptotically optimal decay rates are identified such that the total computational work is minimized. We also present and analyze an alternative version of the multilevel SG algorithm that uses a randomized MLMC estimator at each iteration. Our methodology is validated through a numerical example